Question

如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°

（1）计算：求BC的长；

（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．如图2，当点C₁在线段CA的延长线上时．

①求∠CC₁A₁的度数；

②求四边形A₁BCC₁的面积；

（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A₁BC₁中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer

（1）BC＝7（2）①∠CC1A＝90°；②；（3）①最小值为﹣；最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．

【解析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，CH，BH即可解决问题．

（2）①利用旋转的性质解决问题即可．

②根据＝计算即可．

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

【解析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵∠C＝45°，AC＝4，∠AHC＝90°，

∴AH＝CH＝4，

∵AB＝5，AH＝4，

∴BH＝＝3，

∴BC＝BH+CH＝3+4＝7．

（2）①如图2中，

∵BC＝BC1，

∴∠BC1C＝∠C＝45°，

∵∠A1C1B＝∠C＝45°，

∴∠CC1A＝45°+45°＝90°．

②＝＝×7×4+×7×7＝．

（3）①如图3，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，

当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．