Question

已知：抛物线C₁：y＝﹣（x+m）²+m²（m＞0），抛物线C₂：y＝（x﹣n）²+n²（n＞0），称抛物线C₁，C₂互为派对抛物线，例如抛物线C₁：y＝﹣（x+1）²+1与抛物线C₂：y＝（x﹣）²+2是派对抛物线，已知派对抛物线C₁，C₂的顶点分别为A，B，抛物线C₁的对称轴交抛物线C₂于C，抛物线C₂的对称轴交抛物线C₁与D．

（1）已知抛物线①y＝﹣x²﹣2x，②y＝（x﹣3）²+3，③y＝（x﹣）²+2，④y＝x²﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是　   　（请在横线上填写抛物线的数字序号）；

（2）如图1，当m＝1，n＝2时，证明AC＝BD；

（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC．

①求证：四边形ACBD是菱形；

②若已知抛物线C₂：y＝（x﹣2）²+4，请求出m的值．

Answer

（1）①与③；①与④（2）证明见解析（3）①四边形ACBD是菱形②-2

【解析】

（1）先把四个解析式配成顶点式，然后根据派对抛物线的定义进行判断；

（2）利用抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1，抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4得到A（﹣1，1），B（2，4），再计算出C（﹣1，13），D（2，﹣8），则AC＝12，BD＝12，于是可判断AC＝BD；

（3）①先表示出A（﹣m，m2）；B（n，n2），再表示出C（﹣m，m2+2mn+2n2），D（n，﹣2mn﹣n2），接着可计算出AC＝BD＝2mn+2n2，则可判断四边形ACBD为平行四边形，然后利用三角形内角和，由∠BEO＝∠BDC得到∠EFH＝∠DGH＝90°，从而可判断四边形ACBD是菱形；②由抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4得到B（2，4），即n＝2，则AC＝BD＝4m+8，再利用A（﹣m，m2）可表示出C（﹣m，m2+4m+8），所以BC2＝（m+2）2+（m+2）4，然后利用BC＝BD得（m+2）2+（m+2）4＝（4m+8）2，最后利用m＞0可求出m的值．

（1）①y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+12，②y＝（x﹣3）2+3＝（x﹣3）2+（）2，③y＝（x﹣）2+（）2，④y＝x2﹣x+＝（x﹣）2+（）2，

所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；

故答案为①与③；①与④；

（2）证明：当m＝1，n＝2时，抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1，抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，

∴A（﹣1，1），B（2，4），

∵AC∥BD∥y轴，

∴点C的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，

当x＝﹣1时，y＝（x﹣2）2+4＝13，则C（﹣1，13）；

当x＝2时，y＝﹣（x+1）2+1＝﹣8，则D（2，﹣8），

∴AC＝13﹣1＝12，BD＝4﹣（﹣8）＝12，

∴AC＝BD；

（3）①抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），则A（﹣m，m2）；

抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），则B（n，n2）；

当x＝﹣m时，y＝（x﹣n）2+n2＝m2+2mn+2n2，则C（﹣m，m2+2mn+2n2）；

当x＝n时，y＝﹣（x+m）2+m2＝﹣2mn﹣n2，则D（n，﹣2mn﹣n2）；

∴AC＝m2+2mn+2n2﹣m2＝2mn+2n2，BD＝n2﹣（﹣2mn﹣n2）＝2mn+2n2，

∴AC＝BD；

∴四边形ACBD为平行四边形，

∵∠BEO＝∠BDC，

而∠EHF＝∠DHG，

∴∠EFH＝∠DGH＝90°，

∴AB⊥CD，

∴四边形ACBD是菱形；

②∵抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，则B（2，4），

∴n＝2，

∴AC＝BD＝2mn+2n2＝4m+8，

而A（﹣m，m2），

∴C（﹣m，m2+4m+8），

∴BC2＝（﹣m﹣2）2+（m2+4m+8﹣4）2＝（m+2）2+（m+2）4，

∵四边形ACBD是菱形，

∴BC＝BD，

∴（m+2）2+（m+2）4＝（4m+8）2，

即（m+2）4＝15（m+2）2，

∵m＞0，

∴（m+2）2＝15，

∴m+2＝，

∴m＝﹣2．