Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E．F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，

（1）求证：CF＝AE；

（2）若BE＝8，CF＝6，求线段EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）10.

【解析】

（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得：∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，然后利用同角的余角相等可证：∠EDA＝∠CDF，然后利用ASA即可证出：△AED≌△CFD，从而证出CF＝AE；

（2）根据全等三角形的性质可得：CF＝AE＝6，从而求出AB、AC和AF，然后根据勾股定理即可求出线段EF的长.

【解析】
（1）连接AD，

∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，

∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，

又∵DE⊥DF，AD⊥DC，

∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，

∴∠EDA＝∠CDF

在△AED与△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA）．

∴CF＝AE；

（2）∵△AED≌△CFD

∴CF＝AE＝6，

∴AB＝AE+BE＝14＝AC，

∴AF＝AC﹣CF＝8，

∴EF＝＝＝10．