Question

模型发现：

同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．

因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．

特别的，当点C位于　   　时，线段BC的长取得最大值，且最大值为　   　（用含b，c的式子表示）（直接填空）

模型应用：

点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．

（1）求证：BD＝AE．

（2）线段AE长的最大值为　   　．

模型拓展：

如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．

Answer

模型发现：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明见解析；（2）5；模型拓展：9.

【解析】

模型发现：根据题意，可发现当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c；

模型应用：（1）根据等边三角形的性质可得：CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，从而证出∠DCB＝∠ACE，然后利用SAS即可证出△DCB≌△ACE，从而证出BD＝AE；

（2）根据题意：当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，并求出此时BD的最大值，然后根据（1）的结论即可求出AE的最大值；

模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OG＝AG=AB＝4，然后根据勾股定理即可求出CG，然后由材料可知：当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，从而求出OC的最大值.

【解析】
模型发现：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，

故答案为：线段BA的延长线上；b+c；

模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，

∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，

∴∠DCB＝∠ACE，

在△DCB和△ACE中，

，

∴△DCB≌△ACE（SAS）

∴BD＝AE；

（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，

∵AE＝BD，

∴线段AE长的最大值为5，

故答案为：5；

模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，

在Rt△AOB中，G为AB的中点，

∴OG＝AG=AB＝4，

在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，

当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．