Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B路径运动到B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径运动到A点．点P和点Q分别以2cm/秒和3cm/秒的速度同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F．设运动时间为t（秒）．

（1）当PC＝2QC时，求t的值.

（2）当△PEC与△QFC全等时，求t的值.

Answer

(1)或，PC=2CQ;(2)2或.

【解析】

(1)分类讨论:①当点P在AC上,点Q在BC上时,②当点Q在AC上,点P在BC上时,③当P、Q都在AC上时,根据题意列出方程即可得出结论;

(2)根据题意化成三种情况,根据全等三角形的性质得出CP=CQ,代入得出关于t的方程,求出即可.

(1)①当点P在AC上,点Q在BC上时,

∵AC=6,AP=2t,BC=8,BQ=3t,

∴CP=6-2t,CQ=8-3t,

∵PC=2QC,

∴6-2t=2(8-3t),

解得:t=

②当点Q在AC上,点P在BC上时,不存在PC=2QC

③当P、Q都在AC上时,

∵PC=2QC,

∴6-2t=2(3t-8),

解得:t=

综上所述: t=或;

(2)①如图1,P在AC上,Q在BC上,

∵PE⊥l,QF⊥l,

∴∠PEC=∠QFC=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,

∴∠EPC=∠QCF,

则△PCE≌△CQF(AAS),

∴PC=CQ,即6-2t=8-3t,t=2;

②如图,P在BC上,Q在AC上,

∵由①知:PC=CQ,

∴2t-6=3t-8,t=2;

2t-6＜0,不符合题意;

③当P、Q都在AC上时,如图

CP=6－2t=3t－8,t=;

④当Q到A点停止,P在BC上时,AC=PC,2t-6=6时,解得t=6＞(不符合题意)

综上所述:t的值为2s或s.