Question

综合与探究

如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为.

（1）过点作轴，求的长及点的坐标；

（2）连接，若为坐标平面内异于点的点，且以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出满足条件的点的坐标；

（3）已知，试探究在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）4，；（2）或或；（3）或或

【解析】

（1）先根据证明，然后根据全等三角形的性质得出、的长即可得出点的坐标；

（2）做关于轴的对称图形得到；做关于轴的对称图形得到；做关于轴的对称图形得到，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点的坐标；

（3）当以点为顶点时有一个点符合，当以点为顶点时分钝角三角形和锐角三角形即可求解.

（1）∵点坐标为，点坐标为

∴

∵

∴

∵轴

∴

∴

∴

又∵，

∴

∴

∴

∴ 点的坐标为

（2）①做关于轴的对称图形得到，

∴

∴点的坐标为；

②∵点和点关于对称

∴做关于轴的对称图形得到

∴

∴点的坐标为；

③做关于轴的对称图形得到，

∴

∴

∴点的坐标为

∴综上所述点的坐标为或或；

（3）①当以点为顶点时，且是腰

∵轴

∴可以做点关于的对称点

∴点的坐标为

∴是的垂直平分线

∴

∴是以为腰的等腰三角形；

②当以点为顶点时，且是腰，形成锐角三角形时，

即

∴点的坐标为；

②当以点为顶点时，且是腰，形成钝角三角形时，

即

∴点的坐标为

∴综上所述点的坐标为或或