Question

已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.

（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？

Answer

（1）点P对应的数是1；（2）存在x的值，当x=﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；（3）当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是﹣4或﹣28.

【解析】

（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据数轴即可确定点P对应的数；

（2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②当点P在B点右边时，分别求出x的值即可．

（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边,两点相距3个单位时，②当点A在点B右边，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．

（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段AB的中点．

∵点A、B对应的数分别为﹣1、3，∴点P对应的数是1；

（2）①当点P在A左边时，﹣1﹣x+3﹣x=8，解得：x=﹣3；

②当点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）=8，解得：x=5．

即存在x的值，当x=﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；

（3）①当点A在点B左边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则3+0.5t﹣（2t﹣1）=3，解得：t=，则点P对应的数为﹣6×=﹣4；

②当点A在点B右边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则2t﹣1﹣（3+0.5t）=3，1.5t=7，解得：t=，则点P对应的数为﹣6×=﹣28．

综上可得：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是﹣4或﹣28．