Question

直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

Answer

（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°

【解析】

（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出，，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出 ，故，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知，，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知, ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴，，
∴°，
∴∠AEB=135°；

（2）∠CED的大小不变．
如图2，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴°，
∴°，

∴°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴，，
∴°，°，
∴°，
∴°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴°，
∴°；

（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴, ，

∴，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴°．  
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：

①，°，°；
②，°，°；
③，°，°；
④，°，°．
∴∠ABO为60°或45°．