Question

（问题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．

（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；

（数学思考）（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=45°，由平行线的性质可得∠CBA=∠DCB=45°，即可证DB=DP；（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP=DB．

证明：（1）如图2

∵∠ACB＝90°，AC＝BC

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∵CD∥AB

∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD

∴∠DCB＝∠DBC＝45°

∴DB＝DC

即DP＝DB；

（2）如图3

∵DG⊥CD，∠DCB＝45°

∴∠DCG＝∠DGC＝45°

∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，

∵∠BDP＝∠CDG＝90°

∴∠CDP＝∠BDG

在△CDP和△GDB中，

∴△CDP≌△GDB（ASA）

∴DP＝DB．