Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线都经过点．

（1）求与的值；

（2）此双曲线又经过点，点是轴的负半轴上的一点，且点到轴的距离是2 ，联结、、，

①求的面积；

②点在轴上，为等腰三角形，请直接写出点的坐标.

Answer

（1）k=8，m=4；（2）①8；②

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；

（2）①由（1）可得出双曲线的表达式，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由点C的位置可得出点C的坐标，由点A，B，C的坐标可得出AB，AC，BC的长，由AB2＋BC2＝AC2可得出∠ABC＝90°，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；

②设点E的坐标为（0，a），由点A，C的坐标可得出AC2，AE2，CE2的值，分AE＝AC，CE＝AC，CE＝AE三种情况，可得出关于a的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出结论．

【解析】
（1）∵直线y＝2x经过点A（2，m），

∴m＝2×2＝4，

∴点A的坐标为（2，4）．

∵双曲线经过点A（2，4），

∴4＝，

∴k＝8．

（2）①由（1）得：双曲线的表达式为y＝．

∵双曲线y＝经过点B（n，2），

∴2＝，

∴n＝4，

∴点B的坐标为（4，2）．

∵点C是y轴的负半轴上的一点，且点C到x轴的距离是2，

∴点C的坐标为（0，−2），

∴AB＝，

BC＝，

AC＝．

∵（）2＋（）2＝（）2，

∴AB2＋BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°，

∴S△ABC＝AB•BC＝××＝8．

②设点E的坐标为（0，a），

∴AE2＝（0−2）2＋（a−4）2＝a2−8a＋20，CE2＝[a−（−2）]2＝a2＋4a＋4，AC2＝40．

分三种情况考虑，如图2所示．

（i）当AE＝AC时，a2−8a＋20＝40，

解得：a1＝−2（舍去），a2＝10，

∴点E1的坐标为（0，10）；

（ii）当CE＝AC时，a2＋4a＋4＝40，

解得：a3＝−2＋2，a4＝−2−2，

∴点E2的坐标为（0，−2＋2），点E3的坐标为（0，−2−2）；

（iii）当CE＝AE时，a2＋4a＋4＝a2−8a＋20，

解得：a＝，

∴点E4的坐标为（0，）．

综上所述：点E的坐标为（0，10），（0，−2＋2），（0，−2−2）或（0，）．