Question

如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点.

（1）求的大小；

（2）若把沿着直线翻折得到，设

① 如图2，当点落在斜边上时，求的值；

② 如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域.

Answer

(1) ；(2) ①x=1，② ，定义域

【解析】

（1）根据正弦的定义求出∠B=30°，根据平行线的性质解答；
（2）根据翻转变换的性质，等边三角形的判定定理得到△AQP为等边三角形，根据等边三角形的性质得到AQ=QP，证明AQ=QC，计算即可；
（3）作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，根据正弦的定义用x表示出QG，证明RE=RB，根据等腰三角形的性质得到EH= y，根据正切的定义计算即可．

【解析】
(1) 在Rt△ABC中，

∵ ，AB=4,

∴

∵

∴

(2) ① 如图2，当点落在斜边上时；

由翻折得

∴

∵

∴

∴

∵

∴

是等边三角形

即x=1.

② 如图3，当点落在外部时，

作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，
∵QR∥AB，
∴QG=RH，
在Rt△AQG中，QG=AQ×sinA

由翻折的性质可知，∠PRP=∠CRQ=30°，
∵QR∥AB，
∴∠REB=∠PRQ，
∴∠REB=∠B，
∴RE=RB，
∵RH⊥AB，

在Rt△ERH中，

∴

整理得，y=3x，
则y与x的函数关系式为y=3x（0＜x＜1）．