Question

已知：等边△ABC中，点E为△ABC内一点.

（1）如图1，联结AE、BE并延长分别与BC、CA边交于点D、F。如果∠AEB=120°，求证：△ABD△BCF。

（2）如图2、以AE为一边作等边△AEF，联结BE、CF，求证：BE=CF.

（3）如图3、点D为BC的中点，联结BE、CE,若∠BEC=120°，联结AE、DE,求证：AE=2DE.

Answer

（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解.

【解析】

（1）由∠AEB=120°，得到∠BAE+∠ABE=60°，即可得到∠BAE=∠CBF，然后利用ASA证明△ABD≌△BCF即可；

（2）由等边三角形△ABC、△AEF，得到AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=60°，则得到∠BAE=∠CAF，然后证明△ABE≌△ACF，即可得到结论成立；

（3）把△ABE逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，延长ED至点G，使得ED=DG，连接CG. 由旋转的性质，得△ABE≌△ACF，且△AEF时等边三角形；由∠BEC=120°，得到∠EBD+∠ECD=60°，根据角的等量代换得到∠ECF=∠ECG=60°，然后得到△ECG≌△ECF，得到EG=EF=AE，即可得到AE=2ED.

证明：（1）如图，

在等边△ABC中，有AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

∵∠AEB=120°，

∴∠BED=180°120°=60°，

∴∠BAE+∠ABE=60°，

∵∠CBF+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠BAE=∠CBF，

∴△ABD≌△BCF（ASA）；

（2）如图，

∵△ABC和△AEF是等边三角形，

∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴BE=CF；

（3）如图，把△ABE逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，延长ED至点G，使得ED=DG，连接CG.

由旋转的性质，得：△ABE≌△ACF，且△AEF时等边三角形，

∴AE=AF=EF，BE=CF，∠ABE=∠ACF，

∵∠BEC=120°，

∴∠EBD+∠ECD=60°，

∵∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠ABE=∠ECD=∠ACF，

∴∠ACF+∠ACE=∠ECD+∠ACE=∠ACB=60°，

∴∠ECF=60°.

∵ED=DG，∠BDE=∠CDG，BD=CD，

∴△BDE≌△CDG，

∴BE=CG=CF，∠EBD=GCD，

∴∠GCD+∠ECD=∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°，

∴∠ECG=60°，

∴∠ECF=∠ECG=60°，

在△ECG和△ECF中，

，

∴△ECG≌△ECF，

∴EG=EF=AE，

∵EG=2ED，

∴AE=2ED.