Question

已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BA＝AC，点E、F是线段BC上两动点且∠EAF＝45°，请写出BE、EF、FC之间的等量关系并证明.

Answer

BE2+ FC2= EF2，证明见解析.

【解析】

将△ABE逆时针旋转90度到△ACD的位置，点B、E的对应点为点C、D，首先证明∠EAF＝∠FAD＝45°，然后利用SAS证明△AEF≌△ADF，得到EF＝DF，求出∠FCD＝90°，根据勾股定理可得结论.

BE2+ FC2= EF2，

证明：如图，将△ABE逆时针旋转90度到△ACD的位置，点B、E的对应点为点C、D，

∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，BE=CD，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠FAC＝45°，

∴∠CAD +∠FAC＝45°，

∴∠EAF＝∠FAD＝45°，

又∵AE=AD，AF=AF，

∴△AEF≌△ADF（SAS），

∴EF＝DF，

∵∠ACD＝∠ABE＝∠ACB＝45°，

∴∠FCD＝90°，

∴FC2+CD2=DF2，即BE2+ FC2= EF2.