Question

如图，AB是的直径，C是半圆AB上一点，连AC、OC，AD平分，交弧BC于D，交OC于E，连OD，CD，下列结论：

①弧弧CD；②；③；④当C是半圆的中点时，则．其中正确的结论是（    ）

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

Answer

B

【解析】

根据圆周角定理得出弧CD=弧BD，推出CD=BD，求出∠DOB=2∠DAB，∠CAB=2∠DAB，根据平行线判定推出AC∥OD，根据三角形外角性质即可判断③，连接BD、BE，求出BD=DE，求出BD=CD，即可得出答案．

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴弧BD=弧CD，∴①正确；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠BOD=∠ODA+∠OAD=2∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴∠DOB=∠CAB，
∴AC∥OD，∴②正确；
∵∠ACD=∠ACO+∠OCD，∠OED=∠OCD+∠CDA，
根据已知不能推出∠ACO=∠CDA，∴∠ACD=∠OED不对，∴③错误；
连接BD，BE，

∵C为弧AB中点，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAB=22.5°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA=67.5°，
∵C为弧AB中点，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴∠EBA=∠DAB=22.5°，
∴∠DBE=67.5°-22.5°=45°，
∴∠DEB=180°-90°-45°=45°=∠DBE，
∴DE=BD，
∵弧CD=弧BD，
∴CD=BD，
∴CD=DE，∴④正确；
故选B．