Question

在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接.

（1）如图1，当点在线段上时，如果，则______度；

（2）设，.

①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线上时，则，之间有怎样的数量关系？

写出所有可能的结论并说明条件.

答：（2）①数量关系____________.

理由：

②数量关系____________.

备用图：

Answer

（1）90°；（2）①α+β=180°，理由见解析；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β.

【解析】

（1）先用等式的性质得出∠CAE=∠BAD，再利用SAS判定△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；

（2）①由（1）的结论即可得出α+β=180°；②分类讨论，同（1）的方法证明△ABD≌△ACE即可得出结论．

【解析】
（1）∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中,

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠B=∠ACE；

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°−∠BAC=90°；

故答案为：90°；

(2)①由(1)的结论可知β=180°−α，

∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；

②当点D在射线BC上时，如图1，

同(1)的方法即可证△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠ABD=∠ACE，

∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°−∠BAC=180°−α，

∴α+β=180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，

同(1)的方法即可证△ABD≌△ACE(SAS)；

∴∠ABD=∠ACE，

∴β=∠BCE=∠ACE−∠ACB=∠ABD−∠ACB=∠BAC=α，

∴α=β.