Question

如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、出发以相同的速度向、运动，连接、交于点，是轴上一点，则的最小值为______.

Answer

【解析】

先证明，即可得出∠AFB=120°，即可判断出点F的轨迹是以O’为圆心的圆上的一段弧（劣弧AB），然后确定出圆心O’的位置及其坐标，即可确定点M和点F的位置，使FM的长度最小.

如图，∵是等边三角形，

∴∠AOB=∠ABD=60°，OB=AB，

∵点、分别从、出发以相同的速度向、运动，

∴BD=OE，

在∆OBE和∆DAB中，

∵

∴，

∴∠OBE=∠BAD，

∴∠ABE+∠BAD= ∠ABE+∠OBE=∠ABO=60°，

∴∠AFB=180°-(∠ABE+∠BAD)=120°，

∴点F是经过点A，B，F的圆上的点，记圆心为O’，在圆O’上取一点N，使

点N和点F在弦AB的两侧，连接AN，BN，

∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，

连接O’A，O’B，

∴∠AO’B=2∠ANB=120°，

∵O’A=O’B，

∴∠ABO’=∠BAO’，

∴∠ABO’=(180°-∠AO’B)=(180°-120°)=30°，

∵∠ABO=60°，

∴∠OBO’=90°，

∵是等边三角形，，

∴AB=OB=2×3=6，a=，

过点O’作O’G⊥AB，

∴BG=AB=3，

在Rt∆BO’G中，∠ABO’=30°，BG=3，

∴O’B=，

∴O’(6，)，

∵的最小值= O’M最小值- O’F，

∴过点O’作O’M⊥y轴，垂足为M，则四边形O’MOB是矩形，此时，O’M长度最小，最小值为6，O’M与圆O’的交点，即为点F的位置，

∵O’F=O’B=，

∴的最小值= O’M最小值- O’F=6-.

故答案是：.