Question

如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m.(1)求桥拱的半径．

(2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．

Answer

(1) 桥拱的半径为50 m；（2）这艘轮船能顺利通过，理由见解析.

【解析】

试题

(1)找到圆的圆心E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，连接AE，在Rt△AEF中用勾股定理求AE的长；

(2)连接EM，设EC与MN的交点为D，在Rt△DME中，用勾股定理求出DE，再求DF的长，比较DF与9的大小，即可求解.

试题解析：

(1)如图，点E是桥拱所在圆的圆心．过点E作EF⊥AB于点F，

延长EF交于点C，连接AE，则CF＝20 m．由垂径定理知，F是AB的中点，

∴AF＝FB＝AB＝40 m.设半径是r m，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2.解得r＝50.∴桥拱的半径为50 m.

(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：

当宽60 m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置．

连接EM，设EC与MN的交点为D，

则DE⊥MN，∴DM＝30 m，∴DE＝＝＝40(m)．

∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．

∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过．