Question

如图，抛物线过、两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作轴，交轴于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出点坐标，并求的面积；

（3）点为抛物线上一动点，且位于第四象限，当面积为6时，求出点坐标；

（4）若点在直线上运动，点在轴上运动，当以、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出此时点的坐标.

Answer

（1）；（2），3；（3）；（4），，，.

【解析】

（1）把、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，即可得到抛物线的函数解析式；

（2）根据抛物线的对称性，可得点C的坐标，从而可得BC的值以及BC边上的高，进而求出的面积；

（3）设，作于点，由，可列出关于m的方程，进而可求出点P的坐标；

（4）根据以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，分五类情况讨论，即可求解.

（1）∵抛物线过、两点，

∴ ，解得：

∴抛物线的解析式是：.

（2）∵抛物线的解析式是：，

∴抛物线的对称轴是直线x=2，

∵点、关于抛物线的对称轴对称，点B的坐标是（1,3），

∴点C的坐标是(3，3)，

∴BC=3-1=2，BC∥x轴，

∴中，BC上的高为3，

∴的面积=2×3÷2=3；

（3）∵点为抛物线上一动点，且位于第四象限，如图1，

∴设，作于点，

则，，，

∵，

∴，

即，

∴（舍去），，

∴.

（4）以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分五类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

∵∠CBM=∠MHN=90°，

∴∠BCM+∠BMC=90°，

∵∠HMN+∠BMC=90°，

∴∠BCM=∠HMN，

∴∆CBM≅∆MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，

∴N（2，0）；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，

作辅助线，构造如图所示的两直角三角形：Rt∆NEM和Rt∆MDC，同①的证法，

可得：Rt∆NEM≅Rt∆MDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH-OH=5-1=4，

∴N（-4，0）；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，

作辅助线，构造如图所示的两直角三角形：Rt∆NEM和Rt∆ CDN，同理可得：

Rt∆NEM≅ Rt∆ CDN，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3-1=2，

∴N（-2，0）；

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，CN=MN，∠MNC=90°，

作辅助线，构造如图所示的两直角三角形：Rt∆NEM和Rt∆ CDN，同理可得：

Rt∆NEM≅Rt∆CDN，

∴ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（4，0）；

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上所述：点N的坐标为：，，，.

图1 图2 图3

图4 图5