Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD的延长线，垂足为E．

（1）若BD是AC边上的中线，如图1，求的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图2，求的值.

Answer

（1）；（2）2.

【解析】

设AB=AC=1，CD=x，应用勾股定理和相似三角形的判定和性质，把用x来表示，

（1）若BD是AC的中线，则CD=AD，据此求出的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则由Rt△ABD∽Rt△EBC得，据此求出的值.

设AB=AC=1，CD=x，则0＜x≤1，BC=，AD=1－x．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=1+（1－x）2=x2－2x+2．

由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴，即，∴.

∴，0＜x≤1.

（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=，得.

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则Rt△ABD∽Rt△EBC，

∴，得，即，解得，.

∴.