Question

如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BC上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连结GF，给出下列结论①∠AGD＝110.5°；②S_△AGD＝S_△OGD；③四边形AEFG是菱形；④BF＝OF；⑤如果S_△OGF＝1，那么正方形ABCD的面积是12+8，其中正确的有（　　）个．

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

Answer

B

【解析】

①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数，从而求得∠AGD；

②证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；

③先计算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；

④设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF＝OF=a，从而可证得BF＝EF＝GF＝OF；

⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，

由折叠的性质可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，

∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，

故①错误；

由折叠的性质可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，

在△AEG和△FEG中，，

∴△AEG≌△FEG（SAS），

∴AG＝FG，

∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，

∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；

∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，

∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG，

又∵AE＝FE，AG＝FG，

∴AE＝EF＝GF＝AG，

∴四边形AEFG是菱形，故③正确；

设OF＝a，

∵△AEG≌△FEG，

∴∠EFG＝∠EAG=45°，

又∵∠EFO＝90°，

∴∠GFO＝45°，

∴在Rt△OFG中，GF＝OF=a，

∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，

∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF＝a，即BF＝OF，故④正确；

∵S△OGF＝1，

∴OF2＝1，即a2＝1，

则a2＝2，

∵BF＝EF＝a，且∠BFE＝90°，

∴BE＝2a，

又∵AE＝EF＝a，

∴AB＝AE+BE＝a+2a＝(2+)a，

则正方形ABCD的面积是(2+)2a2＝(6+)×2＝12+，

故⑤正确；

故选：B．