Question

为了迎接五一黄金周的购物高峰，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m﹣30
售价（元/双）	240	160

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．

（1）求m的值;

（2）若购进乙种运动鞋x（双），要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于13000元且不超过13500元，问该专卖店有几种进货方案;

（3）在（2）的条件下求出总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系式，并用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少.

Answer

（1）150；（2）11种；（3）y＝﹣50x+18000，当购进甲种运动鞋110双，乙种运动鞋90双时获得最大利润，最大利润是13500元．

【解析】

（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；

（2）根据购进乙种运动鞋x双，表示出甲种运动鞋（200－x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；

（3）根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出当x为何值时，可以取得最大利润，并写出方案即可．

【解析】
（1）由题意可得：，

解得：m＝150，

经检验，m＝150是原分式方程的解，m－30=120，

所以m的值是150；

（2）∵购进乙种运动鞋x双，购进的甲、乙两种运动鞋共200双，

∴购进甲种运动鞋为（200－x）双，

根据题意得：，

解得：90≤x≤100，

∵x为正整数，

∴x＝90，91，92，93，…，100，

∴该专卖店有11种进货方案；

（3）由题意可得，

y＝(240－150)×(200－x)+(160－120)x＝－50x+18000，

∵－50<0，

∴y随x的增大而减小，

又∵90≤x≤100且x为正整数，

∴当x＝90时，y取得最大值，此时y＝－50×90+18000＝13500，200－x＝110，

答：在（2）的条件下总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系式是y＝－50x+18000，当购进甲种运动鞋110双，乙种运动鞋90双时获得最大利润，最大利润是13500元．