Question

已知：直线y＝x+3与x轴、y轴分别相于点A和点B，点C在线段AO上．

将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处

（1）求直线BC的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P坐标　   　．

Answer

（1）y＝2x+3；（2）（﹣，）；（3）（﹣，3）或（，3）或（﹣，﹣3）．

【解析】

（1）先求出OA，OB，再利用勾股定理即可求出AB＝5，由折叠的性质得出DC＝OC，DB＝OB＝3，∠BDC＝∠BOC＝90°，设OC＝DC＝x，则AC＝4－x，由勾股定理得出方程，求出OC的长，得出点C的坐标，由待定系数法即可得出答案；

（2）作DM⊥OA于M，则DM∥OB，得出△ADM∽△ABO，得，求出AM＝，DM＝，得出OM＝OA－AM＝4－＝，即可得出答案；

（3）分三种情况，利用平行四边形的性质，即可得出结论．

【解析】
（1）∵直线，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4；

∴A（－4，0），B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，

由折叠的性质得：DC＝OC，DB＝OB＝3，∠BDC＝∠BOC＝90°，

∴AD＝AB－DB＝5－3＝2，∠ADC＝90°，

设OC＝DC＝x，则AC＝4－x，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：22+x2＝(4－x)2，

解得：x＝，

∴OC＝，

∴C（，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

把点B（0，3）、C（，0）代入得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝2x+3；

（2）由（1）得：AD＝2，作DM⊥OA于M，如图所示：

则DM∥OB，

∴△ADM∽△ABO，

∴，即，

解得：AM＝，DM＝，

∴OM＝OA－AM＝4－＝，

∴点D的坐标为；

（3）如图所示：

由（1）知，A（－4，0），B（0，3），C（，0），AC＝4－=，

∵以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，

①当AC为边时，BP∥AC，BP＝AC＝，

∴P（，3）或（，3）；

②当AC为对角线时，点B向下平移3个单位，再向左平移个单位得到C，

∴点A向下平移3个单位，再向左平移个单位得到点P的坐标（－4－，0－3），

∴P（－，－3），

即：点P的坐标为（，3）或（，3）或（－，－3）；

故答案为：（，3）或（，3）或（－，－3）．