Question

如图（1），在中，已知，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．

（1）在图（1）中，交于，交于．

①证明；

②在这一过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的，若不发生变化，求出其面积．

（2）继续旋转至如图（2）的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）①见解析；②四边形的面积不发生变化．；（2）仍然成立．证明见解析；（3）．

【解析】

（1）①连接BD，证明△DMB≌△DNC．根据已知，全等条件已具备两个，再证出∠MDB=∠NDC，用ASA证明全等，

②四边形DMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC面积的一半；

（2）成立．同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC；

（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，

∴∠MDB=∠NDC，

∴△BMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN；

②四边形DMBN的面积不发生变化；

由①知△BMD≌△CND，

∴S△BMD=S△CND，

∴．

（2）仍然成立．证明：

如图（2），联结，在中，，，

∴，．

∴．

∴．

∵，

∴．

在和中，

，

∴≌（ASA）．

∴．