Question

已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．

（1）求证：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠F=∠MCD，理由见解析.

【解析】

（1）根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，

（2）由AB=AC=CD推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．

（1）∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，

∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，

在△ACE和△ABE中，∵∠AEC=∠AEB，AE=AE，∠CAE=∠BAE，

∴△ACE≌△ABE（ASA），

∴AB=AC，

∵∠CAE=∠CDE，

∴AM是BC的垂直平分线，

∴CM=BM，CE=BE，

∴∠CMA=∠BMA，

∵AE=ED，CE⊥AD，

∴AC=CD，

∴AB=CD；

（2）∠F=∠MCD，

理由是：∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∵∠BAC=2∠MPC，

又∵∠BAC=2∠CAD，

∴∠MPC=∠CAD，

∴∠MPC=∠CDA，

∴∠MPF=∠CDM，

∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），

∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，

又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，

∴∠MCD=∠F．