Question

如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：

①当x＞3时，y＜0；

②3a+b＜0；

③；

④；

其中正确的结论是（ ）

A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

Answer

B

【解析】

①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；

②抛物线开口向下，故a＜0，∵，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；

③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则，令x=0得：y=﹣3a．∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴．解得：，故③正确；

④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由得：，∵a＜0，∴，∴c﹣2＜0，∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．

解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），

当x＞3时，y＜0，

故①正确；

②抛物线开口向下，故a＜0，

∵，

∴2a+b=0．

∴3a+b=0+a=a＜0，

故②正确；

③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则，

令x=0得：y=﹣3a．

∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，

∴．

解得：，

故③正确；

④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，

∴2≤c≤3，

由得：，

∵a＜0，

∴，

∴c﹣2＜0，

∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，

故④错误．

故选B．