Question

将一把三角尺放在边长为2的正方形ABCD上(正方形四个内角为90°,四边都相等),并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC交于点Q。

探究:(1)当点Q在边CD 上时,线段PQ 与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论；

(2)当点Q在边CD 上时,如果四边形 PBCQ 的面积为1，求AP长度；

(3)当点P在线段AC 上滑动时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的AP的长；如果不可能,试说明理由。

Answer

（1）PQ=PB，证明见解析；（2）AP=；（3）当AP=0或2时，△PCQ为等腰三角形，理由见解析.

【解析】

（1）过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，根据矩形的性质和直角三角形的性质，可证明△QNP≌△PMB，即可得PQ=PB；

（2）设AP=x，结合（1）的结论可分别表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面积，从而表示出四边形PBCQ的面积，解方程即可得AP的长；
（3）△PCQ可以成为等腰三角形．当点Q在DC边上时，利用勾股定理表示出PQ的长度，再由PQ2=CQ2建立方程求解；当点Q在DC的延长线上时，由PQ=CQ，建立方程求解；当Q与点C重合时，不满足条件；从而可求得满足条件的x的值.

（1）PQ=PB，证明如下：

过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，如下图所示，

则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形，

∴NP=NC=MB

∵∠BPQ=90°，

∴∠QPN+∠BPM=90∘,而∠BPM+∠PBM=90°，

∴∠QPN=∠PBM.

在△QNP和△PMB中，

∵∠QPN=∠PBM，NP=MB，∠QNP=∠PMB=90°，

∴△QNP≌△PMB(ASA)，

∴PQ=PB；

(2)由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ=MP.

设AP=x,则AM=MP=NQ=DN=,BM=PN=CN=，

∴CQ=CD−DQ=

∴S△PBC=BC⋅BM=

S△PCQ=CQ⋅PN=

∴S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=，

∵四边形 PBCQ 的面积为1

∴，解得或

∵点Q在边CD 上，即CQ，

∴

∴不符合题意，舍去，

故AP的长度为;

(3)△PCQ可能成为等腰三角形，

①当点Q在边DC上时，

设AP=x，由（2）可得PN=，NQ=，CQ=，

在Rt△PNQ中，PQ2=PN2+NQ2，即PQ2=

由PQ2=CQ2得：，

解得，（舍去）

②当点Q在边DC的延长线上时，如下图所示，

设AP=x，则PC=AC-AP=，由（2）可得NQ=, CN=，

∴CQ=NQ-CN=

由PC=CQ得：，

解得x=2；

③当点Q与C点重合，△PCQ不存在，

综上所述，当AP=0或2时，△PCQ为等腰三角形.