Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S_△AEF：S_△CAB=1：4；④AF²=2EF²．其中正确的结论有（　　）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

Answer

B

【解析】

①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，可得S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误；
④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2，故④正确．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，
∴S△AEF：S△CAB=1：6，故③错误；
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴△AEF∽△BAF，
∴，
AF2=EF•BF=2EF2，故④正确．
故选：B．