Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）

（1）若△CEF与△ABC相似．

①当AC=BC=2时，AD的长为　   　；

②当AC=3，BC=4时，AD的长为　   　；

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer

【解析】
（1）①．②或．（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由见解析.

【解析】

（1）①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
②若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．

（1）若△CEF与△ABC相似．

①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，

此时D为AB边中点，AD=AC=．

②当AC=3，BC=4时，有两种情况：

（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．

由折叠性质可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5．

∴cosA=．∴AD=AC•cosA=3×=．

（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．

由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°．

又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．

同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD．∴AD=BD．

∴此时AD=AB=×5=．

综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为或．

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：
如图所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=DB=AB，
∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．