Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。求证：MN=AM+BN。

Answer

见解析

【解析】

首先根据题干条件求出∠AMC=∠CNB，∠MAC=∠NCB，结合AC=BC，证明△ACM≌△CBN，于是得到AM=CN，CM=BN，即可证明出结论．

证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=90º，

∴∠MAC+∠ACM=90º，

又∵∠ACB=90º，

∴∠NCB+∠ACM=90º，

∴∠MAC=∠NCB．

又∵AC=BC，

∴△ACM≌△CBN，

∴AM=CN，CM=BN，

又∵MN=CN+CM，

∴MN=AM+BN．