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如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是直线AB上的一动点(不和A...

如图,△ABC中,AB=AC,BAC=90°,点D是直线AB上的一动点(不和A、B重合),BECDE,交直线ACF.

(1)D在边AB上时,请证明:BD=AB﹣AF;

(2)试探索:点DAB的延长线或反向延长线上时,请在备用图中画出图形,(1)中的结论是否成立?若不成立,请直接写出正确结论(不需要证明).

 

(1)证明见解析(2)结论不成立 【解析】 (1)易证∠FBA=∠FCE,结合条件容易证到△FAB≌△DAC,从而有FA=DA,就可得到AB=AD+BD=FA+BD. (2)由于点D的位置在变化,因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化,只需画出图象并借鉴(1)中的证明思路就可解决问题. (1)证明∵BE⊥CD即∠BEC=90°,∠BAC=90°, ∴∠F+∠FBA=90°,∠F+∠FCE=90°, ∴∠FBA=∠FCE, ∵∠FAB=180°-∠DAC=90°, ∴∠FAB=∠DAC, 在△FAB和△DAC中,, ∴△FAB≌△DAC(ASA), ∴FA=DA, ∴AB=AD+BD=FA+BD, ∴BD=AB-AF; (2)【解析】 (1)中的结论不成立. 点D在AB的延长线上时,AB=AF-BD;点D在AB的反向延长线上时,AB=BD-AF. 理由如下: ①当点D在AB的延长线上时,如图2. 同理可得:FA=DA. 则AB=AD-BD=AF-BD. ②点D在AB的反向延长线上时,如图3. 同理可得:FA=DA. 则AB=BD-AD=BD-AF.
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