Question

如图1，已知抛物线y＝x²+bx﹣3（b是常数）与x轴交与A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）．

（1）求该拋物线的解析式和对称轴；

（2）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点D，在对称轴上找一个点E，使△OAC与△ODE相似，直接写出点E的坐标；

（3）如图3，平行于x轴的直线与抛物线交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，与直线BC交于点N（x₃，y₃）．若x₁＜x₂＜x₃时，结合图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

Answer

（1）y＝x2﹣2x﹣3，x＝1；（2）点E（1，﹣3）或（1，3）或（1，）或（1，﹣）；（3）x1+x2+x3＞5

【解析】

（1）由待定系数法可求解析式，可得对称轴；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得求解；
（3）由二次函数的性质可得x1+x2=2，由题意可得x3＞3，即可求解．

（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）与x轴交与A，B两点，

∴0＝1﹣b﹣3

∴b＝﹣2，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，

当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0）

∴对称轴为直线x＝1；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，

∴点C（0，﹣3），且点A坐标为（﹣1，0），

∴OA＝1，OB＝3，

∵△OAC与△ODE相似，且∠AOC＝∠ODE＝90°，

∴或，

∴DE＝3或，

∴点E（1，﹣3）或（1，3）或（1，）或（1，﹣），

（3）∵点B（3，0），点C（0，﹣3）

∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，

∵平行于x轴的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，

∴点P，点Q关于对称轴对称，

∴x1+x2＝2，

∵x1＜x2＜x3，

∴直线PQ在AB的上方，

∴x3＞3，

∴x1+x2+x3＞5．