Question

如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=130°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．（直接写出答案）

Answer

(1)见解析；(2) 是直角三角形，理由见解析；(3) 115°或100°或130°.

【解析】

（1）根据得，则是等腰三角形，又，故是等边三角形；

（2）根据可得，即，由题（1）可得，则，故是有一个锐角为的直角三角形；

（3）由题（2）可知：，由三角形内角和定理得，然后分哪两个角为底角建立等式求解即可.

（1）

是等腰三角形

又

是等边三角形；

（2）当时，是直角三角形.理由如下：

，即

由题（1）的结论可得

是有一个锐角为的直角三角形；

（3）由题（2）可知：

则在中，

当时，是等腰三角形，解得

当时，是等腰三角形，解得

当时，是等腰三角形，解得

综上，当为或或时，是等腰三角形.