Question

已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥BD，EF⊥CE

(1)试证明△AEF∽△BEC；

(2)如图，过 C 点作 CH⊥AD 于 H，试探究线段 DH 与 BF 的数量关系，并说明理由；

(3)若 AD＝1，CD＝5，试求出 BE 的值？

Answer

(1)证明见解析；(2)DH＝BF，理由见解析；(3)BE＝．

【解析】

（1）想办法证明∠AEF=∠BEC，∠FAE=∠EBC即可解决问题；

（2）结论：DH=BF．利用比例的性质首先证明AD=AF，再证明四边形ABCH是正方形即可解决问题；

（3）设正方形的边长为x，在Rt△CDH中，DH=x-1，CH=x，CD=5，可得52=x2+（x-1）2，解得x=4，再通过解直角三角形求出BE的长即可.

（1）证明：∵AE⊥BD，EF⊥CE，

∴∠AEB=∠FEC=90°，

∴∠AEF=∠BEC，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠EBC=90°，∠ABE+∠FAE=90°，

∴∠FAE=∠EBC，

∴△AEF∽△BEC；

（2）【解析】
结论：DH=BF．

理由：∵△AEF∽△BEC，

∴，

∵∠ABE=∠ABD，∠AEB=∠BAD=90°，

∴△ABE∽△DBA，

∴，

∴，∵BC=AB，

∴AF=AD，

∵∠ABC=∠BAD=∠H=90°，

∴四边形ABCH是矩形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCH是正方形，

∴AB=AH，∵AF=AD，

∴BF=DH．

（3）设正方形的边长为x，

在Rt△CDH中，DH=x-1，CH=x，CD=5，

∴52=x2+（x-1）2，

解得x=4，

∴AB=4，AD=1，

在Rt△ABD中，BD=，

∵•AD•AB=•BD•AE，

∴AE=，

在Rt△AEB中，BE=．