Question

如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点．

（1）求证：△BCD≌△ACE；

（2）若AD=3，BD=4，求DE的长．

Answer

（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；

（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．

（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=DC．

∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，

∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）由（1）得，∠CAE=∠B=45°，AE=BD=4，

又∠BAC=45°

∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，

即△EAD是直角三角形，

∴

∵AD=3

∴DE==5.