Question

如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于A（1，a）、B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer

（1），；（2）P，．

【解析】

试题（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．

试题解析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，

得：a=-1+4，解得：a=3，

∴点A的坐标为（1，3）．

把点A（1，3）代入反比例函数y=，

得：3=k，

∴反比例函数的表达式y=，

联立两个函数关系式成方程组得：，

解得：，或，

∴点B的坐标为（3，1）．

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．

∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），

∴点D的坐标为（3，- 1）．

设直线AD的解析式为y=mx+n，

把A，D两点代入得：，

解得：，

∴直线AD的解析式为y=-2x+5．

令y=-2x+5中y=0，则-2x+5=0，

解得：x=，

∴点P的坐标为（，0）．

S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD•（xB-xA）-BD•（xB-xP）

=×[1-（-1）]×（3-1）-×[1-（-1）]×（3-）

=．