Question

在现今“互联网+”的时代,密码与我们的生活已经紧密相连,密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解,因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式:x³+2x²-x-2因式分解的结果为(x-1)(x+1)(x+2),当x=18时,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此时可以得到数字密码171920.

(1)根据上述方法,当x=21,y=7时,对于多项式x³-xy²分解因式后可以形成哪些数字密码?(写出三个)

(2)若一个直角三角形的周长是24,斜边长为10,其中两条直角边分别为x,y,求出一个由多项式x³y+xy³分解因式后得到的密码;(只需一个即可)

(3)若多项式x³+(m-3n)x²-nx-21因式分解后,利用本题的方法,当x=27时可以得到其中一个密码为242834,求m,n的值.

Answer

（1） 211428;，212814，142128；（2）48100；（3）m、n的值分别是56、17

【解析】

试题（1）先分解因式得到x3-xy2=x（x-y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；

（2）利用勾股定理和周长得到x+y=14，x2+y2=100，再利用完全平方公式可计算出xy=48，然后与（1）小题的解决方法一样；

（3）由x=27时可以得到其中一个密码为242834，可得x3+（m-3n）x2-nx-21因式分解为（x-3）（x+1）（x+7），再利用多项式的乘法法则展开，然后与x3+（m-3n）x2-nx-21比较，即可求出m、n的值．

试题解析：（1）x3-xy2=x（x-y）（x+y），

当x=21，y=7时，x-y=14，x+y=28，

可得数字密码是211428，也可以是212814，142128；

(2)由题意得: ，

解得，

而，

所以可得数字密码为48100；

(3)由题意得，

，

，

，解得，

故m、n的值分别是56、17.