Question

如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,联结BD与CE交于点F，BD交AE于点G.

(1)求证:△AEC≌△ADB ;

(2)若AB=2,∠ACB=67.5°，AC∥DF ，求BD的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，进而得到∠CAE=∠DAB，再根据SAS即可判定△AEC≌△ADB；

（2）根据AB=AC, ∠ACB=67.5°，可求∠BAC=45°，根据AC∥DF ，可得∠DBA=45°，然后判定△ABD为等腰直角三角形.

【解析】
（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，

即∠CAE=∠DAB，

在△AEC和△ADB中， ，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵AB=AC, ∠ACB=67.5°

∴∠BAC=180°-2×67.5°=45°

∵AC∥DF

∴∠DBA=∠BAC=45°

又∵AD=AB

∴△ABD为等腰直角三角形且AB=2

∴BD=