Question

如图所示，已知O是直线AB上一点，∠BOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD

（1）图中与∠DOE互余的角是______________________

（2）图中是否有与∠DOE互补的角？如果有，直接写出全部结果；如果没有，说明理由。

（3）如果∠EOD︰∠EOF=3︰2，求∠AOC的度数

Answer

（1）∠EOF、∠BOD、∠BOC；（2）有，∠BOF和∠EOC；（3）144°

【解析】

（1）由∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，要求与∠DOE互余的角，只要找到与∠BOD相等的角即可，即∠BOC，∠EOF；

（2）根据同角的余角相等，结合OB平分∠COD，可得∠DOE=∠AOF，∠EOF=∠BOD=∠BOC，则∠DOE的补角与∠AOF的补角相等，即∠DOE互补的角：∠BOF、∠EOC；

（3）由∠EOD︰∠EOF=3︰2，则求出∠EOF=36°，即可得到∠BOC=36°，利用互补关系，即可得到∠AOC的度数.

【解析】
（1）∵∠BOE=∠FOD=90°，

∴∠AOF+∠EOF=90°，∠BOD+∠DOE=90°，∠DOE+∠EOF=90°，

∵OB平分∠COD，

∴∠BOD=∠BOC，∠AOF=∠DOE，

∴与∠DOE互余的是：∠EOF、∠BOD、∠BOC；

故答案为：∠EOF、∠BOD、∠BOC；

（2）由（1）以及同角的余角相等可知，∠AOF=∠DOE，∠EOF=∠BOD=∠BOC，

∴∠DOE的补角与∠AOF的补角相等，

∵∠AOF+∠BOF=180°，∠BOF=∠EOC，

∴∠AOF+∠EOC=180°，

∴∠DOE的补角有：∠BOF和∠EOC；

（3）∵∠EOD︰∠EOF=3︰2，∠DOF=∠EOD+∠EOF=90°，

∴∠EOF=，

∴∠BOC=36°，

∴∠AOC=.