Question

如图，在矩形中，.动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动.过点（不与点、重合）作，交或于点，交或于点，以为边向右作正方形.设点的运动时间为秒.

（1）①_________________；

②当点在上时，用含的代数式直接表示线段的长.

（2）当点与点重合时，求的值；

（3）设正方形的周长为，求与之间的函数关系式；

（4）直接写出对角线所在的直线将正方形分成两部分图形的面积比为1：2时的值.

Answer

（1）①15；②；（2）t＝；（3）；（4）或.

【解析】

（1）①由矩形的性质和勾股定理即可得出结果；

②先证明△APF∽△ADC，可得，进一步即可得出结果；

（2）当点F与点D重合时，如图1，证明△APD∽△ADC，得出，进一步即可求得结果；

（3）分情况讨论：

①当0＜t≤时，如图2所示，由（1）②得：PF＝8t，同理可得：PE与t的关系，从而可得EF与t的关系，进而可得结果；

②当＜t≤3时，如图3所示，此时EF的长与图1中点F、D重合时DE的长相等，求出此时EF的长即可得出结果；

③当3＜t＜时，如图4所示，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，然后利用相似三角形的性质即可得出PF、PE与t的关系，进而可得EF与t的关系式，问题即得解决；

（4）由（2）题可知，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时，只有在图3中可能出现，再分PE：PF＝1：2或PF：PE＝1：2两种情况，利用相似三角形的性质和图3的结论：EF=10讨论求解即可．

【解析】
（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，

∴AC＝；

故答案为：15；

②∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝6，

∵EF⊥AC，∴∠APF＝90°＝∠D，

∵∠PAF＝∠DAC，∴△APF∽△ADC，

∴，即，解得：PF＝8t；

（2）当点F与点D重合时，如图1所示：

∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，

∴△APD∽△ADC，

∴，即，

解得：t＝；

（3）①当0＜t≤时，如图2所示：

由（1）②得：PF＝8t，同理可求得：PE＝2t，∴EF＝10t，

∴l＝4EF＝40t；

②当＜t≤3时，如图3所示：此时EF的长与图1中点F、D重合时DE的长相等，

∴EF＝10t＝，∴l＝4×＝30．

③当3＜t＜时，如图4所示：同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，

∴，，即，，

解得：PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），

∴EF＝PF+PE＝（15﹣4t），

∴l＝4×（15﹣4t）＝﹣40t+150；

综上，与之间的函数关系式是：；

（4）由（2）题可知，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时，只有在图3中可能出现，则PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，

①PE：PF＝1：2时，∵EF＝，∴PF＝EF＝5，

∵△CPF∽△CDA，∴，即，解得：PF＝（15﹣4t），

∴（15﹣4t）＝5，解得：t＝；

②PF：PE＝1：2时，PF＝EF＝，则（15﹣4t）＝，解得：t＝；

综上所述，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值为或．