Question

阅读下面材料，完成（1）～（3）题．

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AD＝kAB（其中0＜k＜），直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E，探究线段DC、DE的数量关系，并证明．

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现DC与DE相等”；

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到DC与DE相等”

小强：“通过进一步的推理计算，可以得到BE与BC的数量关系”

老师：“保留原题条件，连接CE交AB于点O．如果给出BO与DO的数量关系，那么可以求出CO•EO的值”

（1）在图1中将图补充完整，并证明DC＝DE；

（2）直接写出线段BE与BC的数量关系　   　（用含k的代数式表示）；

（3）在图2中将图补充完整，若BO＝DO，求CO•EO的值（用含a的代数式表示）．

Answer

（1）证明见解析；（2）BE＝（1﹣2k）BC；（3）

【解析】

（1）作DM⊥BC于M，DN作BE于N，则∠DMC=∠DNE=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=45°，AB=BC=a，由旋转的性质得∠CDE=∠CBE=90°，则∠DBE=45°，∠MDN=90°，∠CDM=∠EDN，∠ABC=∠ABE，由角平分线的性质得出DM=DN，由ASA证得△CDM≌△EDN（ASA），即可得出结论；
（2）由（1）得△CDM≌△EDN，则CM=EN，易证四边形BMDN是矩形，△BDM是等腰直角三角形，证明四边形BMDN是正方形，得出BM=BN，推出BC+BE=BM+CM+BM-CM=2BM=BD，BD=AB-AD=（1-k）AB=（1-k）BC，则BC+BE=BD=2（1-k）BC，即可得出结果；
（3）由∠CDE+∠CBE=90°+90°=180°，得出B、C、D、E四点共圆，得出CO•EO=DO•BO，即可得出结果．

【解析】
（1）将图补充完整，如图1所示：

作DM⊥BC于M，DN作BE于N，

则∠DMC＝∠DNE＝90°，

∵AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，AB＝BC＝，

由旋转的性质得：∠CDE＝∠CBE＝90°，

∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∠MDN＝90°，

∴∠CDM＝∠EDN，∠ABC＝∠ABE，

∵DM⊥BC于M，DN作BE于N，

∴DM＝DN，

在△CDM和△EDN中，，

∴△CDM≌△EDN（ASA），

∴DC＝DE；

（2）BE＝（1﹣2k）BC，理由如下：

由（1）得：△CDM≌△EDN，

∴CM＝EN，

∵∠CBE＝90°，DM⊥BC，DN⊥BE，

∴四边形BMDN是矩形，

∵∠ABC＝45°，

∴△BDM是等腰直角三角形，

∴DM＝BM，BM＝BD，

∴四边形BMDN是正方形，

∴BM＝BN，

∵BC＝BM+CM，

∴BC+BE＝BM+CM+BM﹣CM＝2BM＝BD，

∵AD＝kAB，

∴BD＝AB﹣AD＝（1﹣k）AB＝（1﹣k）BC，

∴BC+BE＝BD＝2（1﹣k）BC，

整理得：BE＝（1﹣2k）BC；

故答案为：BE＝（1﹣2k）BC；

（3）将图补充完整，如图2所示：

∵∠CDE+∠CBE＝90°+90°＝180°，

∴B、C、D、E四点共圆，

∴CO•EO＝DO•BO，

∵BO＝DO，

∴CO•EO＝DO•BO＝DO2＝×（BD）2＝×（）2×[（1﹣k）a]2＝．