Question

定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C₁的图象，我们称函数C₁是函数C关于点P的相关函数．

例如：当n＝1时，函数关于点P（0，1）的相关函数为．

（1）当n＝0时，

①二次函数y＝x²关于点P的相关函数为　   　；

②点A（2，3）在二次函数y＝ax²﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；

（2）函数关于点P的相关函数是，则n＝　   　；

（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数的相关函数的最小值为7，求n的值．

Answer

（1）①y＝﹣x2；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①n=0时，点P（0，0），则相关函数为：y=-x2，即可求解；
②二次函数y=ax2-2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（-1，0），则新函数的表达式为：y=-a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a=-；
（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，-），由中点公式即可求解；
（3）分n≤-3、-3＜n≤1、n＞1三种情况，分别求解即可．

【解析】
（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，

故答案为：y＝﹣x2；

②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），

则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，

将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；

（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），

由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，

故答案为：﹣；

（3）y＝﹣2x2+nxn2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），

则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；

①当n≤﹣3时，

函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，

解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），

故n＝﹣；

②当﹣3＜n≤1时，

函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，

解得：n＝﹣1（舍去）；

③当n＞1时，

同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），

综上，n＝﹣或．