Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E，F分别是BC，AC的中点.

(1)求证：DF⊥DE.

(2)若AC=8，BC=6，求EF的长.

Answer

(1)证明见解析；(2)EF=5.

【解析】

(1)利用垂直的定义，可得△CDB和△ADC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DF=AF，DE=BE，再利用等边对等角，易证∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，然后证明∠EDF=90°，即可得出结论；

(2) 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE，DF的长，再利用勾股定理求出EF的长.

(1)∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵点E、F分别是BC、AC的中点，

∴DF=AF，DE=BE，

∴∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠ADF+∠EDB=90°，

∴∠EDF=90°，即DF⊥DE；

(2)∵AC=8，BC=6，

∴DF=4，DE=3，

∴EF==5.