Question

如图，在等腰中，，在中，，与交于点。

（1）如图1，若，求的长；

（2）如图2，为延长线上一点，连接，若，求证：。

Answer

（1）4；（2）证明见解析

【解析】

（1）如图1中，作FE⊥BA于E．在Rt△BEF中，求出BF=，然后利用锐角三角函数求解；

（2）延长AC交BD的延长线于H．只要证明△BCH≌△ACF，△CDF≌△CDH，AE垂直平分线段BD，即可解决问题；

（1）【解析】
如图1中，作FE⊥BA于E．

∵CA=CB，∠C=90°，

∴∠ABC=45°，∵∠BEF=90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∵BF=，

∴BE=EF= BF×cos45°= 4，

（2）证明：如图2中，延长AC交BD的延长线于H．

∵∠BEF=∠ACF=90°，∠BFE=∠AFC，

∴∠HBC=∠CAF，∵CB=CA，∠BCH=∠ACF，

∴△BCH≌△ACF，

∴AF=BH，CF=CH，

∵∠ACD=135°，∠ACB=90°，

∴∠ECD=∠HCD=45°，

∵CD=CD，

∴△CDF≌△CDH，

∴DF=DH，

∵AB=AD，AE⊥BD，

∴BE=ED，

∴AE垂直平分线段BD，

∴FB=FD=DH，

∴AF=BH=BD+DH=BD+BF，

∴即．