Question

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F.

(1)若CD＝6，求DE的长；

(2)求证：AE＝AF.

Answer

（1）DE=+；（2）见解析.

【解析】

(1)连接BD，作CH⊥DE于H，根据正方形的性质证明DGCH是正方形，求出2CH=CE，分别在和中求出DH、EH，即可求出DE的长；

（2）可证明∠CEH=30°，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠AEC=∠CAE=15°，然后求出∠F的度数即可得证．

【解析】
如图，连接BD，作CH⊥DE于H，

（1）∵ABCD是正方形，
∴∠DGC=90°，GC=DG，
∵AC∥DE，CH⊥DE，
∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°，
∴四边形CGDH是正方形．

∴CH=DH=CD=，

∴CE=AC= 2GC=2CH=，

∴EH=，

∴DE=DH+HE=+；
（2）由（1）可知CE=2CH，
∴∠CEH=30°，

又CE=AC，
∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°，
又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°，
∴∠F=180°-150°-15°=15°，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．