Question

如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边上一点．如下结论：

①△ACE≌△BCD；   ②△ADE 是直角三角形；  ③AD²+BD²=2CD²；  ④AE=AC， 其中正确的结论有（　 　）

A.①③④ B.①②③ C.①② D.①③

Answer

B

【解析】

由△ABC 和△CDE是等腰直角三角形，则BC=AC，CE=CD，由∠ACB=∠ECD=90°，得到∠ACE=∠BCD，则△ACE≌△BCD；则∠CAE=∠B=45°，则得到∠EAD=90°；由AE=BD，则AD2+BD2= AD2+AE2=ED2，由ED2=CD2+CE2=2CD2；无法证明AE=AC，即可得到答案.

【解析】
∵△ABC 和△CDE是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠B=∠CAB=45°,

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE≌△BCD；故①正确；

∴∠CAE=∠B=45°，

∴∠CAE+∠CAB=90°，

∴∠EAD=90°，

∴△ADE是直角三角形；故②正确；

在直角三角形ADE中，AD2+AE2=ED2，

∵△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，

∴AD2+BD2= ED2，

∵ED2=CD2+CE2=2CD2，

∴AD2+BD2=2CD2；故③正确；

无法正确AE=AC；故④错误；

∴正确的有：①②③；

故选择：B.