Question

如图,城南中学八年级学习小组发现：当角平分线遇上平行线会出现等腰三角形。例如：图①，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，AD//BC,易得△ABE是等腰三角形。该小组将此结论作拓展：如图②，四边形ABCD中， BE平分∠BCD，CF平分∠ABC ，AD//BC，AB=CD=3，AD=4，则EF=________。如图③，如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边AD上，连接BE，△EAB沿BE翻折得到△EA₁B，延长交BC于点F，若四边形EFCD的周长为11，则EF=________。

Answer

2 .

【解析】

②、由①结论分别得出AE和DF的长，然后根据线段之间的关系即可求出DE的长，则EF的长度可求；③过F作FG⊥ED，交ED于G，利用折叠的性质及矩形的性质推得△B A1F≌△FGE，得出EF=BF，EG= A1F，于是设EG=x，EF=y，根据勾股定理和四边形EFCD的周长为11分别列方程，联立求出y值即可；

【解析】
②、由 ① 结论得AB=AE=4，DC=DF=3，

∴DE=AD-AE=4-3=1，EF=DF-DE=3-1=2.

③如图，过F作FG⊥ED，交ED于G，

∵AB=A1B，AB=FG，

∴A1B=FG，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GEF=∠A1FB，

在△BA1F和△FGE中，

，

∴△BA1F≌△FGE（AAS），

∴EF=BF，EG=A1F，

设EG=x,，EF=y，

则由EF2=EG2+FG2，

得x2+32=y2，

∵四边形EFCD的周长为11，

 ∴x+y+3+2（5-y）=11，

即x=y-2，

解得y=.

故答案为：2、.