Question

问题情境：如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．

（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的数量关系：   

（2）合作交流：城南中学八年级某学习小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展延伸：图（1）中AD和BE存在着怎样的位置关系？在等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转的过程中AD和BE的这种位置关系是否会变化？请结合图（2）说明理由．

Answer

（1）BE=AD；（2）仍成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

（1）先利用边角边定理证明△BCE和△ACD全等，于是对应边BE=CD；（2）结论仍然成立，根据等腰直角三角形的性质，利用SAS定理证明△ACD≌△BCE，得对应边BE=AD；（3）因为△BCE≌△ACD，对应角∠CEB和∠CDA相等，再由同角的余角相等，可得BE⊥AD；由△BCE和△ACD全等得∠CBE=∠CAD，而∠BMC和∠AMP是对顶角，结合三角形内角和可得∠APM=90°，则BE⊥AD．

（1）【解析】
如图(1)BE=AD，

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90∘ ，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD；

（2）不变化，理由如下：

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CE=DE，∠BCA=∠ECD=90°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，

（3）如图，

成立，理由如下：

由（1）知，△BCE≌△ACD，

∴∠CEB=∠CDA，

∵∠CBE+∠CEB=90°，

∴∠CBE+∠CDA=90°，

∴BE⊥AD，

由（2）得，∵△BCE≌△ACD，

∴∠CBE=∠CAD，

∠BMC=∠AMP，

∵∠APM=∠BCM=90°，

即BE⊥AD.