Question

如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．

（1）求AB的值；

（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；

（3）在（2）的条件下，点C位于A、B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．

Answer

（1）8；（2）4或10；（3）t的值为和

【解析】

（1）由数轴上点B在点A的右侧，故用点B的坐标减去点A的坐标即可得到AB的值；

（2）设点C表示的数为x，再根据AC=3BC，列绝对值方程并求解即可；

（3）点C位于A，B两点之间，分两种情况来讨论：点C到达B之前，即23时，然后列方程并解方程再结合进行取舍即可.

【解析】
（1）∵数轴上两点A，B表示的数分别为﹣2，6

∴AB＝6﹣（﹣2）＝8

答：AB的值为8．

（2）设点C表示的数为x，由题意得

|x﹣（﹣2）|＝3|x﹣6|

∴|x+2|＝3|x﹣6|

∴x+2＝3x﹣18或x+2＝18﹣3x

∴x＝10或x＝4

答：点C表示的数为4或10．

（3）∵点C位于A，B两点之间，

∴点C表示的数为4，点A运动t秒后所表示的数为﹣2+t，

①点C到达B之前，即2＜t＜3时，点C表示的数为4+2（t﹣2）＝2t

∴AC＝t+2，BC＝6﹣2t

∴t+2＝3（2t﹣6）

解得t＝

②点C到达B之后，即t＞3时，点C表示的数为6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t

∴AC＝|﹣2+t﹣（12﹣2t）|＝|3t﹣14|，BC＝6﹣（12﹣2t）＝2t﹣6

∴|3t﹣14|＝3（2t﹣6）

解得t＝或t＝，其中＜3不符合题意舍去

答：t的值为和