Question

如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别交，于，两点，点，在对角线上，，连接、、、.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，，求的长.

Answer

（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）根据矩形性质得对边平行，再得内错角相等，证明△CFO≌△AEO，得EO=FO，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证；（2）根据定义证明四边形EGFH是菱形，其性质为对角线互相垂直，通过证△AOE∽△ABC，得对应边成比例列式计算.

【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，

∵O为AC的中点，

∴CO=AO，

∴△CFO≌△AEO，

∴EO=FO，

∵CO=AO，AG=CH，

∴OH=OG，

∵EO=FO，OH=OG，

∴四边形是平行四边形.

（2）∵EG=EH，

∴平行四边形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，

∴∠AOE=90°

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°,BC=AD=4

∵AB=8，

∴由勾股定理得，AC= ,

∴AO=.

∵∠AOE=∠B=90°, ∠OAE=∠BAC，

∴△AOE∽△ABC，

∴ ,即

∴AE=5.