Question

如图1：已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内做等腰Rt△．

（1）求，两点的坐标；

（2）求所在直线的函数关系式；

（3）如图2，直线交轴于点，在直线上取一点，使，与轴相交于点.

①求证：；

②在轴上是否存在一点，使△的面积等于△的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）A（0，2），B（1，0）；（2）直线BC所在直线解析式为y=x-．（3）①证明见解析；②点P的坐标为（，0）或（-，0）．

【解析】

（1）y=-2x+2中求出x=0时y的值和y=0时x的值即可得；

（2）作CD⊥x轴，证△ABO≌△BCD得BD=OA=2，CD=OB=1，据此可得C（3，1），再根据待定系数法求解可得；

（3）①作CG⊥x轴，EM⊥x轴，EN⊥y轴，先证△BCG≌△BEM得BM=BG=2，EM=CG=1，进一步求得OM=EN=OB=1，再证△BDO≌△EDN得BD=ED；

②作EH⊥x轴，先求出S△ABD=AD•OB=，再求出直线AE解析式为y=3x+2，得到F（-，0），设P（a，0），知PF=|--a|，依据S△APE=S△APF+S△EPF=•PF•（EH+AO）=|+a|，根据S△ABD=S△APE得出关于a的方程，解之可得答案．

（1）y=-2x+2中，当x=0时y=2，

则A（0，2），

当y=0时，-2x+2=0，解得x=1，

则B（1，0）；

（2）如图①，过点C作CD⊥x轴于点D，

则∠AOB=∠BDC=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠OAB=∠DBC，

∴△ABO≌△BCD（AAS），

∴BD=OA=2，CD=OB=1，

则点C（3，1），

设直线BC所在直线解析式为y=kx+b，

将点B（1，0）、C（3，1）代入，得：，

解得，

∴直线BC所在直线解析式为y=x-．

（3）①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，

则∠BGC=∠BME=∠END=∠BOD=90°，

∵∠ABC=90°，且AE=AC，

∴AB是CE的中垂线，

∴BC=BE，

∵∠CBG=∠EBM，

∴△BCG≌△BEM（AAS），

∴BM=BG=2，EM=CG=1，

∵BO=1，

∴OM=EN=OB=1，

∵∠BDO=∠EDN，

∴△BDO≌△EDN（AAS），

∴BD=ED；

②如图③，作EH⊥x轴于点H，

由y=x-知D（0，-），即OD=，

则AD=OA+OD=，

∴S△ABD=AD•OB=××1=，

由①知E（-1，-1），

根据A（0，2）、E（-1，-1）得直线AE解析式为y=3x+2，

当y=0时，3x+2=0，解得x=-，

∴F（-，0），

设P（a，0），

∴PF=|--a|，

则S△APE=S△APF+S△EPF

=•PF•（EH+AO）

=•|--a|×3

=|+a|，

∵S△ABD=S△APE，

∴|+a|=，

解得a=或a=-，

∴点P的坐标为（，0）或（-，0）．